1 . Колесо при вращении имеет угловую скорость 10π рад/с. После торможения, за минуту его скорость уменьшилась до 6π рад/с. Найдите угловое ускорение колеса.
2 . Маховик начал вращаться равноускоренно и за 10 с достиг угловой скорости 10π рад/с. Определите угловое ускорение маховика.
3 . Укажите направление тангенциального ускорения в точках A , B , C , D при движении по окружности по часовой стрелке (рис. 1), если:
а) если скорость увеличивается;
б) уменьшается.
4 . Определите тангенциальное ускорение колеса радиуса 30 см, если он начинает тормозить с угловым ускорением 0,2 рад/с 2 .
5 . Определите угловое ускорение вала электродвигателя радиуса 0,5 см, если его тангенциальное ускорение равно 1 см/с 2 .
6 . Сравните формулы, описывающие равноускоренное движение по прямой и по окружности, и, используя метод аналогии, заполните таблицу.
| № | Величины и формулы | Равноускоренное движение по прямой (линейные величины) | Равноускоренное движение по окружности (угловые величины) |
|---|---|---|---|
| 1 | Скорость начальная | υ 0 | |
| 2 | Скорость конечная | υ | |
| 3 | Перемещение | Δr | |
| 4 | Ускорение | a | |
| 5 | Формула для расчета ускорения | \(~a_x = \frac{\upsilon_x - \upsilon_{0x}}{t}\) | |
| 6 | Формула для расчета скорости. | \(~\upsilon_x = \upsilon_{0x} +a_x t\) | |
| 7 | Формулы для расчета перемещения | \(~\Delta r_x = \upsilon_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}\) ; \(~\Delta r_x = \upsilon_x t - \frac{a_x t^2}{2}\) ; \(~\Delta r_x = \frac{\upsilon_x + \upsilon_{0x}}{2} \cdot t\) ; \(~\Delta r_x = \frac{\upsilon^2_x - \upsilon^2_{0x}}{2 a_x}\) ; |
7 . Маховик начал вращаться равноускоренно и через 10 с стал вращаться с периодом 0,2 с. Определите:
б) угловое перемещение, которое он сделает за это время.
8 . Маховик, вращающийся с частотой 2 Гц, останавливается в течении 1,5 мин. Считая движение маховика равнозамедленным, определите:
а) угловое ускорение маховика;
б) угловое перемещение маховика до полной остановки.
9 . Диск вращается с угловым ускорением 2 рад/с 2 . Определите угловое перемещение диска при изменении частоты вращения от 4 Гц до 1,5 Гц?
10 . Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою частоту за 1 мин от 5 Гц до 3 Гц. Найдите угловое перемещение, которые совершило колесо за время торможения.
Уровень C
1 . Маховик начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя и за первые 2 мин делает 3600 оборотов. Найдите угловое ускорение маховика.
2 . Ротор электродвигателя начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно и за первые 5 с делает 25 оборотов. Вычислите угловую скорость ротора в конце пятой секунды.
3 . Пропеллер самолета вращается с частотой равной 20 Гц. В некоторый момент времени выключают мотор. Сделав 80 оборотов, пропеллер останавливается. Сколько времени прошло с момента выключения мотора до остановки, если вращение пропеллера считать равнозамедленным?
4 . Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найдите угловое ускорение колеса.
5 . Материальная точка движется по окружности. Когда центростремительное ускорение точки становится равным 3,2 м/с 2 , угол между вектором полного и центростремительного ускорений равен 60°. Найдите тангенциальное ускорение точки для этого момента времени.
6 . Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением 0,5 м/с 2 . Определите полное ускорение точки на участке кривой с радиусом кривизны 3 м в момент времени, когда линейная скорость равна 2 м/с.
7 . Небольшое тело начинает движение по окружности радиусом 30 м с постоянным по модулю тангенциальным ускорением 5 м/с 2 . Найдите полное ускорение тела через 3 с после начала движения.
8 . Диск радиусом 10 см, находящийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением 0,5 рад/с 2 . Найдите полное ускорение точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.
9 . Угол поворота колеса радиусом 0,1 м изменяется по закону φ =π · t . Найдите угловую и линейную скорости, центростремительное и тангенциальное ускорения точек обода колеса.
10 . Колесо вращается по закону φ = 5t – t 2 . Найдите в конце первой секунды вращения угловую скорость колеса, а также линейную скорость и полное ускорение точек, лежащих на ободе колеса. Радиус колеса 20 см.
Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным , оно является равноускоренным .
Угловая скорость
Выберем на окружности точку 1 . Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2 . При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.
Период и частота
Период вращения T - это время, за которое тело совершает один оборот.
Частота вращение - это количество оборотов за одну секунду.
Частота и период взаимосвязаны соотношением
Связь с угловой скоростью
Линейная скорость
Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.
Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено - это есть период T . Путь , который преодолевает точка - это есть длина окружности.
Центростремительное ускорение
При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.
Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения
Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.
Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.
Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.
Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.
Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой
Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v A и v B соответственно. Ускорение - изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.
Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назватьравномерным , оно являетсяравноускоренным .
Угловая скорость
Выберем на окружности точку1 . Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт2 . При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.
Период и частота
Период вращенияT - это время, за которое тело совершает один оборот.
Частота вращение - это количество оборотов за одну секунду.
Частота и период взаимосвязаны соотношением
Связь с угловой скоростью
Линейная скорость
Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной.Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.
Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено - это есть периодT .Путь , который преодолевает точка - это есть длина окружности.
Центростремительное ускорение
При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.
Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения
Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.
Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.
Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.
Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.
Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой
Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна
Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А - уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.
Равномерное движение по окружности – это простейший пример . Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость .
При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть v = const, а изменяется только направление вектора скорости в этом случае отсутствует (a r = 0), а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительное ускорение () a n или а ЦС. В каждой точке вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.
Модуль центростремительного ускорения равен
a ЦС =v 2 / R
Где v – линейная скорость, R – радиус окружности
Рис. 1.22. Движение тела по окружности.
Когда описывается движение тела по окружности, используется угол поворота радиуса – угол φ, на который за время t поворачивается радиус, проведённый из центра окружности до точки, в которой в этот момент находится движущееся тело. Угол поворота измеряется в радианах. равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу окружности (рис. 1.23). То есть если l = R, то
1 радиан= l / R
Так как длина окружности равна
l = 2πR
360 о = 2πR / R = 2π рад.
Следовательно
1 рад. = 57,2958 о = 57 о 18’
Угловая скорость равномерного движения тела по окружности – это величина ω, равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершён этот поворот:
ω = φ / t
Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]. Модуль линейной скорости определяется отношением длины пройденного пути l к промежутку времени t:
v= l / t
Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности. При движении точки длина l дуги окружности, пройденной точкой, связана с углом поворота φ выражением
l = Rφ
где R – радиус окружности.
Тогда в случае равномерного движения точки линейная и угловая скорости связаны соотношением:
v = l / t = Rφ / t = Rω или v = Rω
Рис. 1.23. Радиан.
Период обращения – это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности.Частота обращения – это величина, обратная периоду обращения – число оборотов в единицу времени (в секунду). Частота обращения обозначается буквой n.
n = 1 / T
За один период угол поворота φ точки равен 2π рад, поэтому 2π = ωT, откуда
T = 2π / ω
То есть угловая скорость равна
ω = 2π / T = 2πn
Центростремительное ускорение можно выразить через период Т и частоту обращения n:
a ЦС = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2